Jak znaleźć środkową linię trapezu?
Segment linii prostej łączącej środek bokuboki trapezu, nazywane jest środkową linią trapezu. Jak znaleźć środkową linię trapezową i jak odnosi się ona do innych elementów tej figury, omówimy poniżej.
Twierdzenie o linii środkowej
Narysuj trapez, w którym AD jest większypodstawa, BC - mniejsza podstawa, EF - środkowa linia. Kontynuujemy podstawę AD dla punktu D. Narysuj linię BF i kontynuuj aż do przecięcia z kontynuacją bazowej AD w punkcie O. Rozważmy trójkąty ΔBCF i ΔDFO. Kąty ∟BCF = ∟DFO jako pionowe. CF = DF, ∟BCF = ∟FDO, ponieważ ВС // АО. Stąd trójkąty ΔBCF = ΔDFO. Stąd boki BF = FO.
Teraz rozważ ΔABO i ΔEBF. ∟ABO jest wspólne dla obu trójkątów. BE / AB = ½ według warunku, BF / BO = ½, od ΔBCF = ΔDFO. W związku z tym trójkąty ABO i EFB są podobne. Stąd stosunek boków EF / AO = ½, a także stosunek pozostałych stron.
Znajdujemy EF = ½ AO. Z rysunku widać, że AO = AD + DO. DO = BC jako boki równych trójkątów, stąd AO = AD + BC. Stąd EF = ½ AO = ½ (AD + BC). Tj. Długość środkowej linii trapezu jest równa połowie sumy zasad.
Czy środkowa linia trapezu jest zawsze równa połowie sumy zasad?
Załóżmy, że istnieje specjalny przypadek,gdy EF ≠ 1 (AD + BC). Następnie BC ≠ ZRÓB zatem ΔBCF ≠ ΔDCF. Ale to niemożliwe, ponieważ mają dwa równe kąty i boki pomiędzy nimi. W konsekwencji twierdzenie jest prawdziwe we wszystkich warunkach.
Problem linii pośrodkowej
Załóżmy, że w naszym trapezoidalnym ABCD AD / BC, ∟A = 90 °, ∟C = 135 °, AB = 2 cm, przekątna AC jest prostopadła do strony bocznej. Znajdź środkową linię trapezową EF.
Jeżeli ∟A = 90 °, to ∟B = 90 °, to ΔABC jest prostokątne.
∟BCA = ∟BCD - ∟ACD. ∟ ACD = 90 ° według warunku, zatem ∟BCA = ∟BCD - ∟ACD = 135 ° - 90 ° = 45 °.
Jeśli w prostokątnym trójkącie ΔABC jeden kąt wynosi 45 °, to nogi w nim są równe: AB = BC = 2 cm.
Przeciwprostokątna AC = √ (АВ² + ВС²) = √ 8 cm.
Rozważmy ΔACD. ∟ ACD = 90 ° według warunku. ∟CAD = ∟BCA = 45 ° jako kąty utworzone przez sieczne równoległe podstawy trapezu. W konsekwencji nogi AC = CD = √8.
Hipotenuse AD = √ (AC² + CD2) = √ (8 + 8) = √16 = 4 cm.
Średnia linia trapezu to EF = ½ (AD + BC) = ½ (2 + 4) = 3 cm.
